نمایش مبدأ برای خطای جذر میانگین مربعات

'''خطای جذر میانگین مربعات''' یا '''انحراف جذر میانگین مربعات''' یا '''خطای جذر میانگین مربع‌ها''' {{عبارت چپ‌چین|(root-mean-square deviation (RMSD))}} یا {{عبارت چپ‌چین|(root-mean-square error (RMSE))}} تفاوت میان مقدار پیش‌بینی شده توسط مدل یا [[برآوردگر (آمار)|برآوردگر آماری]] و مقدار واقعی می‌باشد. RMSD یک ابزار خوبی است برای مقایسه خطاهای پیش‌بینی توسط یک مجموعه داده‌است و برای مقایسه چند مجموعه داده کاربرد ندارد.<ref>{{یادکرد ژورنال|last=Hyndman, Rob J. Koehler, Anne B.|title=Another look at measures of forecast accuracy|journal=International Journal of Forecasting|year=۲۰۰۶|pages=۶۷۹–۶۸۸|url=http://dx.doi.org/10.1016/j.ijforecast.2006.03.001}}</ref> 

همچنین این تفاوت‌های مجزا را [[Errors and residuals in statistics|مانده ها]] می‌نامند و خطای جذر میانگین مربعات برای جمع‌آوری آنها در یک عدد کاربر دارد.

== معادله ==
در خطای جذر میانگین مربعات یک [[برآوردگر (آمار)|برآوردگر آماری]] <math>\hat{\theta}</math> با توجه به پارامتر پیش‌بینی‌شدهٔ <math>\theta</math> به عنوان مجذور مربع ریشهٔ [[خطای میانگین مربعات]] تعریف می‌شود:

:<math>\operatorname{RMSD}(\hat{\theta}) = \sqrt{\operatorname{MSE}(\hat{\theta})} = \sqrt{\operatorname{E}((\hat{\theta}-\theta)^2)}.</math>

برای [[unbiased estimator|برآوردگر بی‌طرف]] RMSD مربعات ریشهٔ [[واریانس]] است و به عنوان [[standard error (statistics)|خطای استاندارد]] شناخته می‌شود.

در بعضی از مباحث RMSD برای مقایسه بین دو چیز قابل تغییر به کار می‌رود که هیچکدام به عنوان استاندارد شناخته نمی‌شوند. به عنوان مثال:

برای اندازه‌گیری فاصلهٔ دو جسم دراز که به صورت [[random vector|بردار اتفاقی]] توصیف می‌شوند:

:<math>
\mathbf{\theta}_1 = \begin{bmatrix}
  x_{1,1} \\
  x_{1,2} \\
  \vdots \\ 
  x_{1,n}
\end{bmatrix}
\qquad \mathrm{and} \qquad
\mathbf{\theta}_2 = \begin{bmatrix}
  x_{2,1} \\
  x_{2,2} \\
  \vdots \\ 
  x_{2,n}
\end{bmatrix}.
</math>
معادله به شرح زیر است:
:<math>\operatorname{RMSD}(\mathbf{\theta}_1, \mathbf{\theta}_2) = \sqrt{\operatorname{MSE}(\mathbf{\theta}_1, \mathbf{\theta}_2)} = \sqrt{\operatorname{E}((\mathbf{\theta}_1 - \mathbf{\theta}_2)^2)} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_{1,i} - x_{2,i})^2}{n}}.</math>

== نرمال‌سازی انحراف جذر میانگین مربعات ==
نرمال‌سازی انحراف جذر میانگین مربعات (normalized root-mean-square deviation) یا خطا ('''NRMSD''' یا '''NRMSE''') توسط بازهٔ مقادیر مشاهده شده به شرح زیر است

:<math>\mathrm{NRMSD} = \frac{\mathrm{RMSD}}{x_\max -x_\min}</math>

زمانی که مقدار کمینه نشان‌دهندهٔ واریانس رسوبی کمتری باشد معمولاً مقدار به صورت درصدی بیان می‌گردد.

== ضریب تغییرات انحراف جذر میانگین مربعات ==
ضریب تغییرات انحراف جذر میانگین مربعات {{عبارت چپ‌چین|coefficient of variation of the RMSD, CV(RMSD)}} یا {{عبارت چپ چین|CV(RMSE)}} به عنوان RMSD نرمال شده به کار می‌رود:

:<math> \mathrm{CV(RMSD)} = \frac {\mathrm{RMSD}}{\bar x}.  </math>

این شبیه [[ضریب تغییرات]] است با این تفاوت که RMSD به جای [[انحراف معیار]] استفاده شده‌است.

== پانویس ==
{{پانویس}}

== جستارهای وابسته ==
* [[جذر متوسط مربع]]
* [[Squared deviations]]
* [[Errors and residuals in statistics]]

== منابع ==
* {{یادکرد ویکی|عنوان =خطای جذر میانگین مربعات |پیوند =http://en.wikipedia.org/wiki/Root-mean-square_deviation  |زبان =انگلیسی| بازیابی =۲۱ آبان ۱۳۹۱}}

[[رده:انحراف و پراکندگی آماری]]
[[رده:تخمین کارایی نقطه‌ای]]