نمایش مبدأ برای جسم افلاطونی

{{مقاله خوب}}
{{نوار جانبی
| name = جسم افلاطونی
| pretitle = «چندوجهی‌های محدب منتظم» یا
| title = اجسام افلاطونی
| image = [[پرونده:Platonische Koerper im Bagno.jpg|250px|بی‌قاب|وسط]]
| headingstyle = background:#ddf
| contentstyle =
| class = plainlist
| above = -----
| below = {{*}}{{*}}{{*}}

| heading1 = [[چهاروجهی]] منتظم
| content1 = [[Image:Tetrahedron.svg|80px]]{{سخ}}
<small>([[:image:tetrahedron.gif|پویانمایی]])</small>{{سخ}}
<small>([[:image:tetrahedron.stl|مدل سه‌بعدی تعاملی]])</small>
----

| heading2 = [[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])
| content2 = [[Image:Hexahedron.svg|80px]]{{سخ}}
<small>([[:image:hexahedron.gif|پویانمایی]])</small>{{سخ}}
<small>([[:image:hexahedron.stl|مدل سه‌بعدی تعاملی]])</small>
----

| heading3 = [[هشت‌وجهی]] منتظم
| content3 = [[Image:Octahedron.svg|80px]]{{سخ}}
<small>([[:image:octahedron.gif|پویانمایی]])</small>{{سخ}}
<small>([[:image:octahedron.stl|مدل سه‌بعدی تعاملی]])</small>
----

| heading4 = [[دوازده‌وجهی]] منتظم
| content4 = [[Image:POV-Ray-Dodecahedron.svg|80px]]{{سخ}}
<small>([[:image:dodecahedron.gif|پویانمایی]])</small>{{سخ}}
<small>([[:image:dodecahedron.stl|مدل سه‌بعدی تعاملی]])</small>
----

| heading5 = [[بیست‌وجهی]] منتظم
| content6 = [[Image:Icosahedron.svg|80px]]{{سخ}}
<small>([[:image:icosahedron.gif|پویانمایی]])</small>{{سخ}}
<small>([[:image:Icosahedron.stl|مدل سه‌بعدی تعاملی]])</small>
}}

در [[هندسه فضایی]]، [[چندوجهی]]‌های [[چندوجهی منتظم|منتظمِ]] [[مجموعه محدب|محدب]] به '''جسم افلاطونی''' موسومند. می‌توان نشان داد که در فضای سه‌بعدی تنها پنج جسم افلاطونی هست، که عبارتند از:
# [[چهاروجهی]] منتظم، متشکل از چهار [[مثلث متساوی‌الاضلاع]]،
# [[شش‌وجهی]] منتظم ([[مکعب]])، متشکل از شش [[مربع]]،
# [[هشت‌وجهی]] منتظم، متشکل از هشت [[مثلث متساوی‌الاضلاع]]،
# [[دوازده‌وجهی]] منتظم، متشکل از دوازده [[پنج‌ضلعی#پنج‌ضلعی منتظم|پنج‌ضلعی منتظم]]،
# [[بیست‌وجهی]] منتظم، متشکل از بیست [[مثلث متساوی‌الاضلاع]].

[[وجه (هندسه)|وجه‌های]] هر کدام از این چندوجهی‌ها [[چندضلعی]]‌هایی [[چندضلعی منتظم|منتظم]] و [[هم‌نهشتی (هندسه)|هم‌نهشت]]ند و تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر [[رأس (هندسه)|رأس]] آنان به یکدیگر می‌رسند. شش‌وجهی منتظم (مکعب) با هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم با بیست‌وجهی منتظم، و چهاروجهی منتظم با خودش [[مزدوج|مزدوجند]]؛ یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یکی می‌توان دیگری را ساخت. همچنین در ساخت دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم [[نسبت طلایی]] پدید می‌آید.

عنوان این چندوجهی‌ها از نام [[افلاطون]]، [[فلسفه یونان باستان|فیلسوف یونانی]]، گرفته شده‌است که در نقل داستان [[اسطوره‌های آفرینش|آفرینش]] در دیالوگ ''[[تیمائوس (افلاطون)|تیمائوس]]''، این چندوجهی‌ها را به عناصر تشکیل‌دهندهٔ [[گیتی]] نسبت می‌دهد. [[اقلیدس]]، [[مکتب فیثاغوری|فیثاغوری‌ها]]، و [[ابوالوفا بوزجانی]] نیز در باب اجسام افلاطونی پژوهش کرده‌اند. ستاره‌شناس آلمانی [[یوهانس کپلر]] هم هندسهٔ جهان را بر اساس اجسام افلاطونی می‌دانست و از ویژگی‌های آنان در وضع [[قوانین کپلر]] بهره برد. اجسام افلاطونی در آثار هنرمندانی چون [[موریس اشر]] و [[سالوادور دالی]] خودنمایی می‌کنند و در طبیعت نیز می‌توان آنان را در [[ساختار بلوری|ساختارهای بلوری]] و هیبت برخی [[تک‌یاختگان]] و [[ویروس]]‌ها یافت.

== تاریخ ==
[[تقارن]] و زیبایی اجسام افلاطونی الهام‌بخش معماران، هنرمندان، و صنعتگران از [[مصر باستان]] تا کنون بوده‌است،<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref>
و ویژگی‌های آنها پژوهشگران را از روزگار افلاطون تا [[رنسانس]] به‌خود مشغول داشته بود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=14}}</ref>
یافته‌های [[باستان‌شناختی]] از ۴٬۰۰۰ سال پیش در اسکاتلند هم شامل نقش‌هایی حک‌شده در سنگ از اجسام افلاطونی است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|French | 2014 | p=96}}</ref><ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sarhangi | 2008 | pp=511–523}}</ref>

=== یونان باستان ===
{| class="wikitable collapsible" align=left style="width:150px;"
|+ ساختار هندسی عناصر هستی به گفتهٔ افلاطون
| چهاروجهی || [[آتش]]
|-
| مکعب || [[خاک]]
|-
| هشت‌وجهی || [[هوا]]
|-
| دوازده‌وجهی || [[اثیر (عنصر سنتی)|اثیر]]
|-
| بیست‌وجهی || [[آب]]
|}
نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی را [[مکتب فیثاغوری|فیثاغوری‌ها]]ی یونان باستان انجام دادند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=13}}</ref>
ایشان بر این باور بودند که پنج جسم افلاطونی متناظر با ساختار [[عناصر چهارگانه|عناصر چهارگانهٔ سازنده جهان]] هستند، یعنی چهاروجهی منتظم با نوک‌های تیز متناظر آتش، مکعبِ استوار متناظر خاک، و دو چندوجهی منتظم ساخته‌شده از مثلث دیگر (هشت‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) متناظر هوا و آب هستند. به باور ایشان دوازده‌وجهی منتظم نیز به شکلی مرموز نمایانگر کل هستی و ۱۲ [[صورت فلکی]]‌اش بود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=14}}</ref><ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref>
خود [[فیثاغورث]] (حدود ۵۸۰ تا ۵۰۰ [[پ.م.]]) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref> او ۲۰ سال را در مصر گذرانده بود و احتمالاً این اطلاعات را آنجا آموخته بود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|French | 2014 | p=96}}</ref>

تحلیل ویژگی‌های اجسام افلاطونی و اثبات اینکه تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد نقطهٔ اوج کتاب پایانی ''[[اصول اقلیدس]]'' (حدود ۳۰۰ پ.م.) است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=14}}</ref>
به نوشتهٔ [[اقلیدس]]، اولین کسی که هشت‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم را شرح داد [[تئائتتوس]] ریاضی‌دان [[آتن|آتنی]] و دوست افلاطون (حدود ۴۱۷–۳۶۹ پ.م.) بود.<ref>{{پکه| افراسیابی | ۱۳۸۹ | pp=۳–۱۰}}</ref>
از آنجا که [[افلاطون]] (۴۲۸/۴۲۷–۳۴۸/۳۴۷ پ.م.) نظریات [[مکتب فیثاغوری|فیثاغوری‌ها]] را در «داستان آفرینش» در دیالوگ [[تیمائوس (افلاطون)|''تیمائوس'']] تکرار کرده است، نام «جسم افلاطونی» به چندوجهی‌های منتظم اطلاق گردید.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=14}}</ref>
افلاطون مانند فیثاغوری‌ها چهار تا از اجسام افلاطونی را به عناصر چهارگانه نسبت می‌داد. به نوشتهٔ او:
{{گفتاورد|خداوند آب و هوا در وسط خاک و آتش قرار داد و بین همهٔ آنها تناسبی واحد برقرار ساخت […] به این ترتیب از پیوند این چهار عنصر، جسم جهان به وجود آمد و در سایهٔ تناسب، توازن و هماهنگی در درون آن حکمفرما گردید.|[[تیمائوس (افلاطون)|''تیمائوس'']]<ref>{{پکه| هاشمی | ۱۳۹۱ | p=۲۶–۳۱}}</ref>‏}}
افلاطون در این نوشته از دوازده‌وجهی منتظم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که دربارهٔ آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.»<ref>{{پکه| افراسیابی | ۱۳۸۹ | pp=۳–۱۰}}</ref>
مفسران افلاطون دوازده‌وجهی را با دوازده برج [[منطقةالبروج]] مرتبط دانسته‌اند.<ref dir=ltr>{{harvcolnb|Kotrč|1981}}</ref>
افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر چهارگانه، دربارهٔ تبدیل آنها به یکدیگر بحث می‌کند. به باور او خاک قابل تبدیل به عناصر دیگر نیست، چرا که از مربع ساخته شده، ولی آب و آتش و هوا را، که از مثلث ساخته شده‌اند، می‌توان با تناسبی خاص به یکدیگر تبدیل کرد.<ref>{{پکه| افراسیابی | ۱۳۸۹ | pp=۳–۱۰}}</ref>
افلاطون باور داشت این اجسام سایه یا بازتابی از جهان واقع هستند؛ بااین‌حال به گفتهٔ کَرِن فرنچ{{یادچپ|Karen L. French}} آرای افلاطون را باید علاوه بر رویکرد تحت‌اللفظی، با رویکردی [[متافیزیک]]ی نیز بررسی کرد.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|French | 2014 | p=100}}</ref>

=== قرون وسطی ===
[[پرونده:De divina proportione - Illustration 19.jpg|بندانگشتی|تصویر یک بیست‌وجهی منتظم در کتاب ''[[در باب تناسب الهی]]'' اثر [[لئوناردو دا وینچی]]]]
[[ابوالوفا محمد بوزجانی]]  (۳۲۸–۳۸۸ [[ه.ق|ه‍.ق.]]) هم در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک [[دایره بزرگ|دوایر عظیمهٔ]] کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی که هریک از یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث، مربع یا پنج‌ضلعی تشکیل شده‌است، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان است. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب {{عبارت عربی|''فیما یحتاج الیه الصانع من الاعمال الهندسه''}}{{یاد|''در باب آنچه صنعتگران از مسائل هندسی نیاز دارند''.}} اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و [[جسم ارشمیدسی|ارشمیدسی]]، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا [[موزائیک‌کاری|موزاییک‌کاری]]) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود.<ref>{{پکه| هاشمی | ۱۳۹۱ | p=۲۶–۳۱}}</ref><ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sarhangi | 2008 | pp=511–523}}</ref>
از نکات قابل توجه در کتاب بوزجانی این است که او ترسیم‌هایش را به شکل گسترده ارائه کرده‌است تا خواننده با تخیل خود بتواند آن‌ها را به شکل سه‌بعدی ببیند.‏<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sarhangi | 2008 | pp=511–523}}</ref>
به گفتهٔ گلرو نجیب‌اوغلو، تفاوت رویکرد افلاطون و بوزجانی در این است که «اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع و پنج‌ضلعی منتظم بر بدنهٔ کره قرار دارد، در اجسامی که بوزجانی بیان کرده وحدت شکلی بر توافق پی‌درپی دو نوع چندضلعی منتظم استوار است.»<ref>{{پکه| هاشمی | ۱۳۹۱ | p=۲۶–۳۱}}</ref>

=== رنسانس و قرون جدید ===
هنرمندان دوران [[رنسانس]] به‌منظور بررسی ویژگی‌های [[ژرفانمایی (گرافیک)|پرسپکتیو]] در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند،<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sala |2004}}</ref> که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف [[پائولو آچلو]] (۱۳۹۷-۱۴۷۵ [[گاه‌شماری میلادی|م.]]) در [[کلیسای جامع سینت مارکو]] در [[ونیز]] دید. همچنین [[لئوناردو دا وینچی]] (۱۴۵۲-۱۵۱۹ م.) در تصویرسازی‌هایش برای کتاب ''[[در باب تناسب الهی]]'' اثر [[لوکا پاچیولی]] اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند [[نسبت طلایی]]) را بررسی کرده‌است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sala |2004}}</ref>

[[File:Mysterium Cosmographicum solar system model.jpg|thumb| تصور [[یوهانس کپلر]] از [[منظومه شمسی]]، تشکیل‌شده از اجسام افلاطونی از ''[[رموز جهان]]'' (۱۵۹۶)]]
[[کیهان‌شناسی]] افلاطون در ''تیمائوس'' راهنمای مهم [[یوهانس کپلر]] (۱۵۷۱–۱۶۳۰ م.) در وضع [[قوانین کپلر]] بود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica - Geometry}}</ref>
کپلر در مدلش، ایدهٔ استفاده از جسم‌های افلاطونی برای تشریح هندسهٔ جهان را احیا کرد.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=14}}</ref><ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica}}</ref>
او اجسام افلاطونی را نه به‌عنوان شکل طبیعت و تعداد عناصر بلکه به عنوان مدلی از ساختار منظومهٔ شمسی می‌دانست.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica - Geometry}}</ref>
کپلر در سال ۱۵۹۶ م. در کتاب ''[[رموز جهان]]'' هر کدام از شش [[سیاره|سیارهٔ]] شناخته‌شده در آن زمان را به‌گونه‌ای نشان داد که روی سطح کره‌هایی هم‌ مرکز و جداشده با پنج جسم افلاطونی دور خورشید می‌گردند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica - Geometry}}</ref>
هدف کپلر در واقع این بود که فاصلهٔ میان سیاره‌ها را با استفاده از اجسام افلاطونی توصیف کند.
او دریافت اگر کره‌ها و اجسام افلاطونی را به صورت یکی داخل دیگری قرار دهد، نسبت فواصل کره‌ها از مرکز مدلش در مقایسه به شکلی «بسیار خوب» بر نسبت فواصل سیارات از خورشید منطبق می‌شود. کپلر بر آن بود که توانسته قانون بنیادی طبیعت را کشف کند.<ref>{{پکه| مازوچی | ۱۳۸۸ | pp=۱۲–۲۹}}</ref>‏ به نوشتهٔ [[آرتور کستلر]]:
{{گفتاورد|[کپلر] در مدار کروی [[زحل|کیوان]] مکعبی را محاط کرد، و در آن مکعب کرهٔ دیگری را، که مدار [[مشتری (سیاره)|مشتری]] بود. در آن چهاروجهی را محاط کرد و در آن چهاروجهی مدار کروی [[مریخ]] را. بین مدارهای مریخ و [[زمین]]، دوازده‌وجهی قرار گرفت و بین زمین و [[زهره]]، بیست‌وجهی، و بین زهره و [[عطارد]]، هشت‌وجهی. [[یوریکا|یوریکا!]]... این امر شیفتگی نهایی کپلر بود، چه به عنوان یک فرد و چه به عنوان نمونهٔ تاریخی. چرا که باور غلط او به پنج جسم کامل هوسی گذرا نبود. این باور با کمی تغییر و تعدیل تا آخر عمر با او ماند، که نشان از توهمی [[پارانویا|پارانویاگونه]] دارد. با این همه این وهم انگیزه و محرک او بود برای دستیابی به اکتشافات جاودانش.|''[[خوابگردها]]''<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Senechal | 2013 | p=44}}</ref>
}}

[[تیکو براهه]] (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Encyclopedia Britannica - Geometry}}</ref>

=== در تاریخ معاصر ===
[[پرونده:Dali - The Sacrament of the Last Supper - lowres.jpg|230px|بندانگشتی|راست|دوازده‌وجهی خالی‌ در ''[[تقدیس شام آخر]]'' اثر [[سالوادور دالی]]]]
[[موریس اشر|موریس اِشر]]ِ هلندی (۱۸۹۸-۱۹۷۲ م.) از اشکال خالص اجسام افلاطونی در آثارش به‌صورت گسترده استفاده کرده‌است. برای مثال اثر حکاکی روی چوب ''{{ill|ستاره‌ها (موریس اشر)|lt=ستاره‌ها|en|Stars_(M._C._Escher)}}''
ترکیبی از مکعب‌ها و هشت‌وجهی‌ها را به تصویر می‌کشد که [[آفتاب‌پرست]]‌هایی را محیط کرده‌اند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sala |2004}}</ref> اشر در اثر دیگری با عنوان
''{{ill|خزندگان (موریس اشر)|lt=خزندگان|en|Reptiles_(M._C._Escher)}}''
از یک دوازده‌وجهی به‌عنوان نماد آسمان بهره می‌برد.
شیفتگی اشر نسبت به اجسام افلاطونی تا حدی بود که تنها چیزی که پس از نقل مکان از کارگاهش با خود برد مجموعه‌ای درهم‌رفته از اجسام افلاطونی بود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Form, Shape, and Space: Teachers' Booklet | 2008 | p = 17}}</ref>
نقاش اسپانیایی [[سالوادور دالی]] (۱۹۰۴-۱۹۸۹ م.) نیز شیفتهٔ اجسام افلاطونی بود. در
''{{ill|تصلیب (دالی)|lt=تصلیب|en|Crucifixion (Corpus Hypercubus)}}''
دالی صلیبی را مشتمل بر هشت مکعب به تصویر می‌کشد و در
''{{ill|تقدیس شام آخر|en|The Sacrament of the Last Supper}}''
دوازده‌وجهی خالی‌ای (که نماد «خدا» است) بر فراز سر مسیح و حواریونش قرار دارد. [[برونو موناری]] (۱۹۰۷-۱۹۹۸ م.) نیز مساعی گسترده‌ای در طراحی صنعتی با استفاده از شکل اجسام افلاطونی کرده‌است. ''زیرسیگاری مکعبی'' او نمونهٔ شاخص طراحی ایتالیایی در میانهٔ قرن بیستم است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sala |2004}}</ref>
در قرن بیستم استفاده از اشکال خالص افلاطونی به یکی از ویژگی‌های [[سبک بین‌المللی]] معماری بدل شد. معمار سوئیسی [[لوکوربوزیه]] نیز سیستمی برای طراحی متناسب با ابعاد بدن انسان ارائه کرد که از [[نسبت طلایی]] بهره گرفته‌است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sala |2004}}</ref>
اساس [[باکمینستر فولر]] در ساخت [[گنبد ژئودزیک]] نیز بیست‌وجهی منتظم بود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|MacLean | 2007 | p=61}}</ref>

== اهمیت و کاربرد ==
<div class="quotebox" style="float: left; clear: right; margin: 0.5em 1.4em 0.8em 0;">{{Image array
|width=200
|height =120
|perrow = 2
| spacing = 3

|image1=HALIT X NaCl Natriumchlorid WÜRFEL KUBUS 50P.jpg
|caption1=بلور سدیم کلراید

|image2=Sodium-chloride-3D-ionic.png
|caption2=ساختار سدیم کلراید

|image3=Fluorine (Mexique) 4.JPG
|caption3=بلور کلسیم فلوراید

|image4=Fluorite-unit-cell-3D-ionic.png
|caption4=ساختار کلسیم فلوراید

|image5=Pyrite-288990.jpg
|caption5=بلور پیریت

|image6=Circogoniaicosahedra ekw.jpg
|caption6=گونه‌ای از شعاعیان با ساختار بیست‌وجهی

|image7=Spielwürfel_(als_Modelle_Platonischer_Körper_und_Trapezoeder).jpg
|caption7=از جسم‌های افلاطونی به شکل گسترده به عنوان تاس استفاده می‌شود.

|image8=Dodecahedrane-3D-balls.png
|caption8=دودکاهدران، یکی از [[هیدروکربن افلاطونی|هیدروکربن‌های افلاطونی]]
}}</div>
با اینکه اجسام افلاطونی، بر خلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی [[مولکول]]‌ها و [[اتم]]‌های فشرده، به‌ویژه [[ساختار بلوری|ساختارهای بلوری]]، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|French | 2014 | p=96}}</ref>
[[سنگ نمک]] (NaCl یا [[نمک خوراکی]] طبیعی) گاه در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد و بلورهای [[فلئوریت]] (CaF<sub>2</sub> یا کلسیم فلوراید) شبیه هشت‌وجهی‌اند. [[پیریت]] (FeS<sub>2</sub>، معروف به طلای احمق‌ها) هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|French | 2014 | p=96}}</ref> در سال ۲۰۱۱ نیز دانشمند اسرائیلی [[دن شختمن]] برای کشف ساختار بیست‌وجهی منتظم [[کریستال مایع]] [[آلومینیم]] [[جایزه نوبل شیمی]] را دریافت کرد.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|NIST | 2017}}</ref> [[هیدروکربن افلاطونی|هیدروکربن‌های افلاطونی]] هم نمایش مولکولی چند جسم افلاطونی‌اند که در آن‌ها رأس‌ها با اتم‌های [[کربن]] و اضلاع با [[پیوند کربن-کربن]] جایگزین شده‌است. از هیدروکربن‌های افلاطونی کوبان (C<sub>8</sub>H<sub>8</sub>) و دودِکاهدران (C<sub>20</sub>H<sub>20</sub>) سنتز شده‌اند و پیش‌بینی می‌شود تتراهدران (C<sub>4</sub>H<sub>4</sub>) از لحاظ [[انرژی جنبشی|جنبشی]] پایدار باشد.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Lewars | 2008 | pp=185-226}}</ref>

در اوایل قرن بیستم، [[ارنست هکل]] در کتاب ''اشکال هنری در طبیعت''{{یادچپ|Art Forms in Nature}} برخی [[شعاعیان]] را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Haeckel | 2012 | loc=PLATE 1}}</ref>
ساختار برخی [[ویروس]]‌ها مثل [[تب‌خال]] نیز به شکل بیست‌وجهی منتظم است. به نوشتهٔ [[فرانسیس کریک|کریک]] و [[جیمز واتسون|واتسون]]، بهینه‌ترین و ساده‌ترین حالت‌های ترکیب زیرساختارهای پروتئینی در ویروس برای تشکیل [[کپسید]] به شکل اجسام افلاطونی (و به‌ویژه بیست‌وجهی) است. ساده‌ترین [[کپسید]]های بیست‌وجهی با استفاده از ۳ زیرواحد همسان برای تشکیل هر وجه مثلثی ساخته می‌شوند. این بدین معنی است که برای ساختن یک کپسید کامل، به ۶۰ زیرواحد همسان نیاز است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Nayudu | 2008 | p=50}}</ref>

از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان [[تاس (وسیله بازی)|تاس]] استفاده می‌شود،<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Gardner | 1987 | p=17}}</ref> و همچنین [[پازل‌های ترکیبی]] (مثل [[مکعب روبیک]]) به شکل همهٔ اجسام افلاطونی وجود دارد.
{{-}}

== قضایا و ویژگی‌ها ==
=== اثبات هندسی ===
; تعریف
{{جسم افلاطونی}}
یک چندوجهی محدب جسم افلاطونی است، اگر و تنها اگر
# همهٔ وجه‌های آن [[چندضلعی منتظم|چندضلعی‌های منتظم]] [[هم‌نهشتی (هندسه)|هم‌نهشت]] باشند.
# هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
# تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

به مجموع وجه‌ها و ضلع‌هایی که در یک رأس به هم می‌رسند «[[هرم]] رأس»{{یادچپ|vertex pyramid}} گفته می‌شود. منظور از هرم در اینجا یال هرم است و قاعدهٔ این هرم ممکن است مسطح نباشد.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>

اگر مجموع زوایای بین ضلع‌های که در یک رأس به هم می‌رسند کمتر از {{چر}}۳۶۰° باشد، آن رأس «محدب» دانسته می‌شود. برای اینکه یک چندوجهی محدب باشد، همهٔ رئوس آن باید محدب باشند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>
حداقل تعداد وجه‌هایی که می‌توانند در یک ضلع به هم برسند تا تشکیل یک چندوجهی بدهند سه تا است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>

;وجه‌های سه‌ضلعی
با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم ([[مثلث متساوی‌الاضلاع]]) در هر رأس، [[چهاروجهی |چهاروجهی منتظم]] تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر {{ریاضی|۳ {{ضرب}} ۶۰° {{=}} ۱۸۰°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر است، بنابراین [[چهاروجهی |چهاروجهی منتظم]] جسم افلاطونی است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>
با به‌هم رسیدن چهار سه‌ضلعی منتظم ([[مثلث متساوی‌الاضلاع]]) در هر رأس، [[هشت‌وجهی |هشت‌وجهی منتظم]] تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر {{ریاضی|۴ {{ضرب}} ۶۰° {{=}} ۲۴۰°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر است، بنابراین [[هشت‌وجهی |هشت‌وجهی منتظم]] نیز جسم افلاطونی است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>
همچنین با به‌هم رسیدن پنج سه‌ضلعی منتظم ([[مثلث متساوی‌الاضلاع]]) در هر رأس، [[بیست‌وجهی |بیست‌وجهی منتظم]] تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر {{ریاضی|۵ {{ضرب}} ۶۰° {{=}} ۳۰۰°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر است، بنابراین [[بیست‌وجهی |بیست‌وجهی منتظم]] جسم افلاطونی است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=82}}</ref>
با به‌هم رسیدن شش سه‌ضلعی منتظم ([[مثلث متساوی‌الاضلاع]]) در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر {{ریاضی|۶ {{ضرب}} ۶۰° {{=}} ۳۶۰°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر {{Underline|نیست}} و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد سه‌ضلعی‌های منتظم به‌هم‌رسیده بعد از شش تا، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از {{ریاضی|۳۶۰°}} بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها سه جسم افلاطونی با وجوه مثلثی می‌توان ساخت.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=82}}</ref>

;وجه‌های چهارضلعی
با به‌هم رسیدن سه چهارضلعی منتظم ([[مربع]]) در هر رأس، شش‌وجهی منتظم ([[مکعب]]) تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر {{ریاضی|۳ {{ضرب}} ۹۰° {{=}} ۲۷۰°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر است، بنابراین شش‌وجهی منتظم ([[مکعب]]) جسم افلاطونی است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>
با به‌هم رسیدن چهار چهارضلعی منتظم ([[مربع]]) در هر رأس، مجموع زوایا در هر رأس برابر {{ریاضی|۴ {{ضرب}} ۹۰° {{=}} ۳۶۰°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر {{Underline|نیست}} و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد مربع‌های به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از {{ریاضی|۳۶۰°}} بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه مربعی می‌توان ساخت.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=81}}</ref>

;وجه‌های پنج‌ضلعی
با به‌هم رسیدن سه [[پنج‌ضلعی#پنج‌ضلعی منتظم|پنج‌ضلعی منتظم]] در هر رأس، [[دوازده‌وجهی منتظم]] تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر {{ریاضی|۳ {{ضرب}} ۱۰۸° {{=}} ۳۲۴°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر است، بنابراین دوازده‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=83}}</ref>
با به‌هم رسیدن چهار [[پنج‌ضلعی#پنج‌ضلعی منتظم|پنج‌ضلعی منتظم]] در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر {{ریاضی|۴ {{ضرب}} ۱۰۸° {{=}} ۴۳۲°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر {{Underline|نیست}} و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. با افزایش تعداد پنج‌ضلعی به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از {{ریاضی|۳۶۰°}} بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه پنج‌ضلعی می‌توان ساخت.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=83}}</ref>

;وجه‌های شش‌ضلعی و بیشتر
با به‌هم رسیدن سه [[شش‌ضلعی|شش‌ضلعی منتظم]] در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر {{ریاضی|۳ {{ضرب}} ۱۲۰° {{=}} ۳۶۰°}} می‌شود که از {{ریاضی|۳۶۰°}} کمتر {{Underline|نیست}} و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. برای هفت‌ضلعی منتظم این عدد برابر {{ریاضی|۳ {{ضرب}} ۱۲۸° {{=}} ۳۸۵°}} و برای برای هشت‌ضلعی منتظم این عدد {{ریاضی|۳ {{ضرب}} ۱۳۵° {{=}} ۴۰۵°}} است و با افزایش تعداد اضلاع وجوه این عدد همواره زیاد می‌شود؛ بنابراین با چندضلعی‌های منتظم با بیشتر از پنج ضلع نمی‌توان جسم افلاطونی ساخت. به‌این‌ترتیب تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که عبارتند از [[چهاروجهی |چهاروجهی منتظم]]، شش‌وجهی منتظم ([[مکعب]])، [[هشت‌وجهی |هشت‌وجهی منتظم]]، [[دوازده‌وجهی منتظم]]، و [[بیست‌وجهی |بیست‌وجهی منتظم]].<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=83}}</ref>

=== اثبات توپولوژیک ===
می‌توان، تنها با استفاده از اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی، اثباتی کاملاً [[توپولوژی]]یکی ارائه کرد. نکتهٔ مهم در این اثبات [[مشخصه اویلر]] است مبنی بر اینکه {{ریاضی|V − E + F {{=}} 2}}، و این امر که {{ریاضی|pF {{=}} 2E {{=}} qV}}، که در آن p تعداد اضلاع هر وجه است و q تعداد اضلاعی که در هر رأس به هم می‌رسند. از ترکیب این معادله‌ها نتیجه می‌شود:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Henle | 1994 | p=9}}</ref>

{{وسط|<math>\frac{2E}{q} - E + \frac{2E}{p} = 2.</math>}}

و پس از ساده‌سازی جبری:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Henle | 1994 | p=9}}</ref>

{{وسط|<math>{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over E}.</math>}}

از آنجا که E همواره مثبت است پس:

{{وسط|<math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2}.</math>}}

با بهره‌گیری از این امر که p و q باید دستکم ۳ باشند، می‌توان نشان داد که پنج حالت مختلف برای {p, q} وجود دارد:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Henle | 1994 | p=9}}</ref>
* {{ریاضی|{۳,۳} }} {{---}} (چهاروجهی منتظم)؛
* {{ریاضی|{۳,۴} }}  {{---}} (مکعب)؛
* {{ریاضی|{۴,۳} }}  {{---}} (هشت‌وجهی منتظم)؛
* {{ریاضی|{۳,۵} }}  {{---}} (دوازده‌وجهی منتظم)؛
* {{ریاضی|{۵,۳} }}  {{---}} (بیست‌وجهی منتظم).

=== ویژگی‌های ترکیبی ===
{| class="wikitable" align=left style=" text-align: center;"
|+ اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی
! جسم افلاطونی !! تعداد وجوه{{سخ}}(F یا q) !! تعداد اضلاع{{سخ}}(E یا p) !! تعداد رئوس{{سخ}}(V)
|-
! چهاروجهی
|style="background-color:#42f1f4"| ۴ || ۶ ||style="background-color:#42f1f4"| ۴
|-
! شش‌وجهی{{سخ}}(مکعب)
|style="background-color:#e0a3a3"| ۶ || ۱۲ ||style="background-color:#bbe8d3"| ۸
|-
! هشت‌وجهی
|style="background-color:#bbe8d3"| ۸ || ۱۲ ||style="background-color:#e0a3a3"| ۶
|-
! دوازده وجهی
|style="background-color:#d6bbe8"| ۱۲ || ۳۰ ||style="background-color:yellow"| ۲۰
|-
! بیست وجهی
|style="background-color:yellow"| ۲۰ || ۳۰ ||style="background-color:#d6bbe8"| ۱۲
|}

نشان داده شد که هر جسم افلاطونی با [[نماد شلفلی|نماد شِلَفْلی]] {p, q} نشان داده می‌شود که p تعداد [[ضلع|اضلاع]] (یا [[رأس (هندسه)|رأس‌های]]) هر وجه و q تعداد وجه‌ها (یا اضلاعی) است که در هر رأس به یکدیگر می‌رسند.
همهٔ اطلاعات [[ترکیبیات|ترکیبی]] این چندوجهی‌ها، شامل تعداد رأس‌ها (V)، اضلاع (E)، و وجه‌ها (F) با استفاده از p و q قابل تعیین هستند. از آنجا که هر ضلع، دو رأس را به یکدیگر متصل کرده و دو وجه مجاور دارد، رابطهٔ زیر برقرار است:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Cromwell | 1999 | p=196}}</ref>
{{وسط|<math>pF = 2E = qV.\,</math>}}

==== مشخصهٔ اویلر ====
رابطهٔ دیگر بین اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی با استفاده از [[مشخصه اویلر]] بدست می‌آید:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=85}}</ref>
{{وسط|<math>V - E + F = 2.\,</math>}}

یعنی برای هر جسم افلاطونی، تعداد رئوس منهای تعداد اضلاع به‌علاوهٔ تعداد وجه‌ها برابر ۲ است. مثلاً در مکعب داریم: {{ریاضی|۸ – ۱۲ + ۶ {{=}} ۲}}. مشخصهٔ اویلر، که برای همهٔ چندوجهی‌های بدون حفره صادق است، برای اثبات قضیه‌های مختلفی در خصوص اجسام افلاطونی به کار می‌رود.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=85}}</ref>

==== به مثابه پیکربندی ====
[[پیکربندی (چندبر)|پیکربندی]] در صفحه مجموعه‌ای است از {{math|N<sub>0</sub>}} تا نقطه و {{math|N<sub>1</sub>}} تا خط، که از هر کدام از نقطه‌ها {{math|N<sub>01</sub>}} تا خط بگذرد و روی هر خط {{math|N<sub>10</sub>}} تا نقطه قرار داشته بگیرد. می‌توان نشان داد که:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coxeter | 1973 | pp=12{{--}}13}}</ref>
{{وسط|<math>N_0 N_01 = N_1 N_10</math>}}

برای مثال، هر p-ضلعی یک پیکربندی است که در آن {{math|N<sub>1</sub> {{=}} N<sub>0</sub> {{=}} p}} (یعنی هر p-ضلعی p تا ضلع و رأس دارد) و {{math|N<sub>01</sub> {{=}} N<sub>10</sub> {{=}} 2}} (یعنی از هر رأس p-ضلعی دو ضلع می‌گذرد و روی هر ضلع آن p رأس قرار دارد).
با تعمیم پیکربندی در هندسهٔ فضایی، می‌توان آن را مجموعه‌ای از {{math|N<sub>0</sub>}} تا نقطه، {{math|N<sub>1</sub>}} تا خط، و {{math|N<sub>2</sub>}} تا صفحه دانست، 
و می‌توان به‌طور خلاصه گفت {{math|N<sub>j</sub>}} تا j-فضا (که در آن ۰-فضا همان نقطه، ۱-فضا همان خط، و ۲-فضا همان صفحه است) با {{math|N<sub>jk</sub>}} تا k-فضا برخورد می‌کنند ({{math|j ≠ k}}).
می‌توان نشان داد که:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coxeter | 1973 | pp=12{{--}}13}}</ref>
{{وسط|<math>N_j N_{jk} = N_k N_{kj}</math>}}

این اعداد را می‌توان به‌سادگی در یک [[ماتریس]] نمایش داد:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coxeter | 1973 | pp=12{{--}}13}}</ref>
{{وسط|<math>\begin{bmatrix}N_{00} & N_{01} & N_{02} \\N_{10} & N_{11} & N_{12}  \\N_{20} & N_{21} & N_{22} \end{bmatrix}.</math>
}}

مفهوم پیکربندی اصولا در [[هندسه تصویری]] مورد مطالعه قرار می‌گیرد و در آن می‌توان با بهره‌گیری از اصل دوگانگی، رابطهٔ بین نقاط و صفحه‌های متناظر را حفظ کرد. به این مفهوم به‌ویژه در مورد اجسام افلاطونی توجه می‌شود، چرا که با چرخاندن ماتریس هر جسم افلاطونی به اندازهٔ ۱۸۰‌ درجه می‌توان ماتریس مزدوج آن را نوشت.  برای هر جسم افلاطونی با [[نماد شلفلی]] {p, q} ماتریس پیکربندی به این شکل است:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coxeter | 1973 | pp=12{{--}}13}}</ref>
{{وسط|<math>\begin{bmatrix}N_{0} & q & q \\2 & N_{1} & 2  \\p & p & N_{2} \end{bmatrix}.</math>
}}

ماتریس پیکربندی هر پنج جسم افلاطونی در جدول زیر آمده است.
{| class=wikitable style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
!{p,q}
!colspan=5|پیکربندی افلاطونی
|- valign=top
!رتبهٔ گروه (g)
!''g''=24
!colspan=2|''g''=48
!colspan=2|''g''=120
|-
|
{| class=wikitable
!|| v ||e||f
|- align=center
!v
| ''g''/2''q'' ||''q'' ||''q''
|- align=center
!e 
| 2 ||''g''/4 ||2
|- align=center
!f
| ''p'' || ''p'' || ''g''/2''p''
|}

| BGCOLOR="#e0f0e0" |
{| class=wikitable
|+ {3,3} (چهاروجهی)
|- align=center
|4||3||3
|- align=center
|2||6||2
|- align=center
|3||3||4
|}
| BGCOLOR="#f0e0e0" |
{| class=wikitable
|+ {3,4} (مکعب)
|- align=center
|6|| 4||4
|- align=center
|2||12||2
|- align=center
|3|| 3||8
|}
| BGCOLOR="#e0e0f0" |
{| class=wikitable
|+ {4,3} (هشت‌وجهی)
|- align=center
|8|| 3||3
|- align=center
|2||12||2
|- align=center
|4|| 4||6
|}
| BGCOLOR="#f0e0e0" |
{| class=wikitable
|+ {3,5} (دوازده‌وجهی)
|- align=center
|12|| 5|| 5
|- align=center
| 2||30|| 2
|- align=center
| 3|| 3||20
|}
| BGCOLOR="#e0e0f0" |
{| class=wikitable
|+ {5,3} (بیست‌وجهی)
|- align=center
|20|| 3|| 3
|- align=center
| 2||30|| 2
|- align=center
| 5|| 5||12
|}
|-
| colspan="6" |<small><span dir=ltr>''g'' {{=}} 8''pq''/(4-(''p''-2)(''q''-2))</span></small>
|}

=== ویژگی‌های هندسی ===
==== زاویه‌ها ====
[[زاویه|زاویهٔ]] دوسطحی، زاویهٔ داخلی بین هر دو وجه چندوجهی است. اندازهٔ زاویهٔ دوسطحی، θ، برای چندوجهی {p,q} با استفاده فرمول زیر بدست می‌آید:
{{وسط|<math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{q}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{p}\right)}.</math>}}

کاستی زاویه‌ای هر رأس یک چندوجهی، اختلاف بین مجموع زوایای بین وجه‌ها در هر رأس و 2π  (بر حسب [[رادیان]]) است. کاستی زاویه‌ای، δ، در هر رأس جسم افلاطونی {p,q}، با استفاده از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

{{وسط|<math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>}}

با استفاده از [[قضیه]] [[رنه دکارت|دکارت]] در باب مجموع کاستی‌ها،{{یاد|قضیهٔ دکارت در باب «مجموع کاستی‌ها» بیان می‌دارد که اگر یک چندوجهی با [[کره (هندسه)|کره]] [[همسان‌ریختی|همسان‌ریخت]] باشد (یعنی اگر از دیدگاه [[توپولوژیک]]ی بتوان آن را با یک کره یکسان در نظر گرفت)، مجموع کاستی‌های همهٔ رأس‌ها برابر دو دایرهٔ کامل ({{چر}}720° یا 4π) است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Cromwell | 1999 | p=187}}</ref>}} این مقدار برابر است با 4π تقسیم بر تعداد رأس‌ها (مجموع کاستی‌ها در همهٔ رأس‌ها 4π است).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Cromwell | 1999 | p=187}}</ref>

معادل سه‌بعدی زاویهٔ سطحی، [[زاویه فضایی|زاویهٔ فضایی]] است. زاویهٔ فضایی، Ω، در رأس یک جسم افلاطونی، بر حسب زاویهٔ دوسطحی، به‌صورت زیر بدست می‌آید:
{{وسط|<math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi.\,</math>}}

زاویه‌های مربوط به اجسام افلاطونی در جدول زیر ارائه شده‌اند. مقدار زوایای فضایی بر حسب [[استرادیان]] داده شده‌است. ثابت <math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}</math>، [[نسبت طلایی]] است.
{| class="wikitable" style=" text-align: center" width=100%
!چندوجهی||زاویه دوسطحی (θ)||{{math|tan&nbsp;{{Sfrac|θ|2}}}}||کاستی زاویه‌ای (δ)||[[زاویه فضایی]] رأس (Ω)||زاویه فضایی<br />وجه
|- align=center
! [[چهاروجهی]]
|| ۷۰٫۵۳° || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || <math>\pi</math>
| <math>\cos^{-1}\left(\frac{23}{27}\right) \quad \approx 0.551286</math>
| <math>\pi</math>
|- align=center
! [[مکعب]]
|| ۹۰° || <math>1</math> || <math>\pi\over 2</math>
| <math>\frac{\pi}{2} \quad \approx 1.57080</math>
| <math>2\pi\over 3</math>
|- align=center
! [[هشت‌وجهی]]
|| ۱۰۹٫۴۷° || <math>\sqrt 2</math> || <math>{2\pi}\over 3</math>
| <math>4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right) \quad \approx 1.35935</math>
| <math>\pi\over 2</math>
|- align=center
! [[هشت‌وجهی]]
|| ۱۱۶٫۵۷° || <math>\varphi</math> || <math>\pi\over 5</math>
| <math>\pi - \tan^{-1}\left(\frac{2}{11}\right) \quad \approx 2.96174</math>
| <math>\pi\over 3</math>
|- align=center
! [[دوازده‌وجهی]]
|| ۱۳۸٫۱۹° || <math>\varphi^2</math> || <math>\pi\over 3</math>
| <math>2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right) \quad \approx 2.63455</math>
| <math>\pi\over 5</math>
|}

==== شعاع، مساحت، و حجم ====
همهٔ اجسام افلاطونی، سه کره هم‌مرکز دارند:
* کرهٔ [[محیط (هندسه)|محیطی]] که از همهٔ رأس‌ها عبور می‌کند،
* کرهٔ میانی که بر همهٔ اضلاع در نقطهٔ وسط ضلع [[مماس]] است،
* کره [[محاط|محاطی]] که بر همه وجه‌ها در مرکز وجه مماس است.

[[شعاع]] این کره‌ها، «شعاع محیطی»،{{یادچپ|circumradius}} «شعاع میانی»،{{یادچپ|midradius}} و «شعاع محاطی»{{یادچپ|inradius}} نامیده می‌شوند که به‌ترتیب برابر با فاصله مرکز چندوجهی از رأس‌ها، نقطه وسط اضلاع و مرکز وجه‌ها هستند. شعاع مح‍یطی (R) و شعاع محاطی (r) برای چندوجهی {p, q} با طول ضلع a از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Whistler Alley Mathematics - Formula Derivations for Polyhedra | 2016}}</ref>

{{وسط|
<math>R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}</math><br />
<math>r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}</math>
}}
که θ، زاویهٔ دوسطحی است.

مساحت سطح کل جسم (A) برای یک جسم افلاطونی {p, q} به آسانی و با استفاده از ضرب تعداد وجه‌ها (F) در مساحت p-ضلعی منتظم بدست می‌آید:<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Whistler Alley Mathematics - Formula Derivations for Polyhedra | 2016}}</ref>

{{وسط|
<math>A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.</math>}}

شعاع میانی ρ با استفاده از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:<ref dir=ltr>{{harvcolnb | Whistler Alley Mathematics - Formula Derivations for Polyhedra | 2016}}</ref>

{{وسط|<math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi}{p}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{h}\right)}</math>}}

[[حجم]] اجسام افلاطونی برابر است با حاصل‌ضرب F در حجم [[هرم (هندسه)|هرمی]] با قاعده p-ضلعی منتظم و ارتفاع شعاع داخلی r:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Whistler Alley Mathematics | 2011}}</ref>
{{وسط|
<math>V = \tfrac13 rA.</math>
}}

جدول زیر، شعاع‌ها، مساحت و حجم اجسام افلاطونی را ارائه کرده‌است. در این جدول، طول ضلع {{ریاضی| a {{=}} 2 }} در نظر گرفته شده‌است.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Whistler Alley Mathematics | 2011}}</ref>

{| class="wikitable" style=" text-align: center" width=100%
|-
! چندوجهی || شعاع محاطی (r) || شعاع میانی (ρ) || شعاع محیطی (R) || مساحت سطح (A) || حجم (V) || ضریب حجم (طول ضلع = ۱)
|- align=center
! [[چهاروجهی]]
|| <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{\sqrt 8}{3}\approx 0.942809</math> || <math>\approx0.117851</math>
|- align=center
! [[مکعب]]
|| <math>1\,</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24\,</math> || <math>8\,</math> || <math>1\,</math>
|- align=center
! [[هشت‌وجهی]]
|| <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1\,</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{\sqrt {128}}{3}\approx 3.771236</math> || <math>\approx 0.471404</math>
|- align=center
! [[دوازده‌وجهی]]
|| <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>12 {\sqrt {25+10\sqrt5}}</math> || <math>\frac{20\varphi^3}{\xi^2}\approx 61.304952</math> || <math>\approx 7.663119</math>
|- align=center
! [[بیست‌وجهی]]
|| <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}{3}\approx 17.453560</math> || <math>\approx 2.181695</math>
|}

ثابت‌های φ و ξ در جدول بالا عبارتند از:

{{وسط|
<math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{\frac14}\varphi^{-\frac12}</math>
}}

== مختصات دکارتی و نسبت طلایی ==
[[دستگاه مختصات دکارتی|مختصات دکارتی]] چهاروجهی منتظم، مکعب، و هشت‌وجهی منتظم شامل [[نسبت طلایی]] (<math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180</math>) نیست و می‌توان آن‌ها را با [[اعداد طبیعی]] نشان دارد.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sacred Geometry | 2012}}</ref>
از سوی دیگر برای نمایش مختصات دکارتی دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم به [[نسبت طلایی]] نیاز است. مختصات رئوس دوازده‌وجهی را می‌توان به‌سادگی از طریق رئوس سه [[مستطیل طلایی]] (مستطیلی که نسبت طول به عرض آن برابر {{ریاضی|1:φ}} است) عمود برهم محاسبه کرد. اضلاع دوازده‌وجهی پاره‌خط‌هایی هستند که هر رأس مستطیل‌های طلایی را به پنج رأس همسایهٔ آن وصل می‌کنند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sacred Geometry | 2012}}</ref>

بیست‌وجهی منتظم را هم می‌توان با وصل کردن رئوس سه مستطیل عمود بر هم با نسبت طول به عرض {{ریاضی|1:φ<sup>2</sup>}} به رئوس یک مکعب ایجاد کرد.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Sacred Geometry | 2012}}</ref>
{| class=wikitable style="width:100%"
|+ مختصات دکارتی اجسام افلاطونی
!شکل
! colspan=2|سه‌وجهی منتظم || هشت‌وجهی منتظم || مکعب || colspan=2| بیست وجهی منتظم|| colspan=2|دوازده‌وجهی منتظم
|- align=center
!وجه‌ها
|colspan=2|۴||۸||۶||colspan=2|۲۰||colspan=2|۱۲
|- align=center
!رأس‌ها
|colspan=2|۴||۶ (۲ × ۳)||۸||colspan=2|۱۲ (۴ × ۳)||colspan=2|۲۰ (۸ + ۴ × ۳)
|- align=center
!جهت‌گیری{{سخ}}مجموعه|| ۱||۲ || |||| ۱||۲|| ۱||۲
|- valign=top align=center dir=ltr
! valign=center|مختصات{{سخ}}رأس
| (۱, ۱, ۱){{سخ}}(۱, −۱, −۱){{سخ}}(−۱, ۱, −۱){{سخ}}(−۱, −۱, ۱)
| (−۱, −۱, −۱){{سخ}}(−۱, ۱, ۱){{سخ}}(۱, −۱, ۱){{سخ}}(۱, ۱, −۱)
|{{سخ}}(±۱, ۰, ۰){{سخ}}(۰, ±۱, ۰){{سخ}}(۰, ۰, ±۱)
|(±۱, ±۱, ±۱)
|{{سخ}}(۰, ±۱, ±φ){{سخ}}(±۱, ±φ, ۰){{سخ}}(±φ, ۰, ±۱)||{{سخ}}(۰, ±φ, ±۱){{سخ}}(±φ, ±۱, ۰){{سخ}}(±۱, ۰, ±φ)
|(±۱, ±۱, ±۱){{سخ}}(0, ±{{sfrac|۱|φ}}, ±φ){{سخ}}(±{{sfrac|۱|φ}}, ±φ, ۰){{سخ}}(±φ, ۰, ±{{sfrac|۱|φ}})||(±۱, ±۱, ±۱){{سخ}}(۰, ±φ, ±{{sfrac|۱|φ}}){{سخ}}(±φ, ±{{sfrac|۱|φ}}, ۰){{سخ}}(±{{sfrac|۱|φ}}, ۰, ±φ)
|- align=center
!تصویر
|colspan=2|[[File:CubeAndStel.svg|120px]]
|colspan=2|[[File:Dual Cube-Octahedron.svg|120px]]
|colspan=2|[[File:Icosahedron-golden-rectangles.svg|130px]]
|colspan=2|[[File:Cube in dodecahedron.png|130px]]
|-
| colspan="9" |<small>حرف یونانی φ به [[نسبت طلایی]] <math>\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1.6180</math> اشاره دارد.</small>
|}

== چندوجهی‌های مزدوج ==
با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یک چندوجهی (یا به عبارت دیگر جابجا کردن تعداد وجه‌ها و رأس‌ها) مزدوج آن چندوجهی حاصل می‌شود. مزدوج هر جسم افلاطونی هم یک جسم افلاطونی است:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=86}}</ref>
[[پرونده:Duality Tetra-Tetra.png|بدون قاب|100px|راست]]
با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک چهاروجهی منتظم، یک چهاروجهی منتظم کوچکتر حاصل می‌شود (تعداد وجوه و رئوس چهاروجهی (۴) با هم برابر است).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=86}}</ref>{{-}}
[[پرونده:Duality Hexa-Okta edit.png|بدون قاب|100px|راست]]
[[پرونده:Duality Okto-Hekta.png|بدون قاب|100px|چپ]]
با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک شش‌وجهی منتظم (مکعب)، یک هشت‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک هشت‌وجهی منتظم، یک شش‌وجهی منتظم (مکعب) به‌دست می‌آید (تعداد وجوه مکعب با رئوس هشت‌وجهی (۶) برابر و رئوس آن (۸) با وجوه هشت‌وجهی برابر است).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=86}}</ref>{{-}}
[[پرونده:Duality Iko-Dodek.png|بدون قاب|100px|راست]]
[[پرونده:Duality Dodek-Iso.png|بدون قاب|100px|چپ]]
با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک دوازده‌وجهی منتظم، یک بیست‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک بیست‌وجهی منتظم، یک دوازده‌وجهی منتظم به‌دست می‌آید (تعداد وجوه دوازده‌وجهی با رئوس بیست‌وجهی (۱۲) برابر و رئوس آن (۲۰) با وجوه بیست‌وجهی برابر است).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=86}}</ref>{{-}}

اگر نماد شلفلی یک چندوجهی {{ریاضی|{p,&nbsp;q} }} باشد، نماد شلفلی مزدوج آن {{ریاضی|{q,&nbsp;p} }} خواهد بود. به‌طور کلی هر ویژگی‌ ترکیبی یک جسم افلاطونی را می‌توان برابر ویژگی ترکیبی دیگری از مزدوج آن دانست.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=86}}</ref>{{-}}

از آنجا که [[گروه تقارن]] هر چندوجهی با گروه تقارن مزدوج آن یکی است، تنها سه گروه تقارن در رابطه با اجسام افلاطونی مطرح می‌شود که عبارتند از:<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coxeter | 1973 | pp=130}}</ref>
* [[تقارن چهاروجهی]]  (گروه تقارن T)
* [[تقارن هشت‌وجهی]] (گروه تقارن O، که با گروه تقارن مکعب یکی است.)
* [[تقارن بیست‌وجهی]] (گروه تقارن I، که با گروه تقارن دوازده‌وجهی یکی است.)

گروه‌های تقارن اجسام افلاطونی در جدول زیر آمده است.
{| class="wikitable"
|-
!rowspan=2|چندوجهی
!rowspan=2|[[نماد شلفلی]]
!rowspan=2|<span dir=rtl>[[نماد ویتهاف]]{{یادچپ|Wythoff symbol}}</span>
!rowspan=2|چندوجهی مزدوج
!colspan=5|گروه تقارن
|-
!<span dir=rtl>[[گروه چندوجهی]]{{یادچپ|Polyhedral group}}</span>
!<span dir=rtl>[[نشانه‌گذاری شونفلیز]]{{یادچپ|Schönflies notation}}</span>
!<span dir=rtl>[[نشانه‌گذاری کاکستر]]{{یادچپ|Coxeter notation}}</span>
!<span dir=rtl>[[نشانه‌گذاری فراخمینه]]{{یادچپ|Orbifold notation}}</span>
!رتبه گروه
|- align=center dir=ltr
! [[چهاروجهی]]
| {3, 3} || 3 {{Pipe}} 2 3 || چهاروجهی
| تقارن چهاروجهی [[File:Tetrahedral reflection domains.png|40px]]
| ''T''<sub>d</sub><BR>''T''
| [3,3]<BR>[3,3]<sup>+</sup>
| *332<BR>332
| 24<BR>12
|- align=center dir=ltr
! [[مکعب]]
| {4, 3} || {{چپ‌چین}}3 {{Pipe}} 2 4{{پایان چپ‌چین}} || هشت‌وجهی
| rowspan=2 | تقارن هشت‌وجهی [[File:Octahedral reflection domains.png|40px]]
| rowspan=2 | ''O''<sub>h</sub><BR>''O''
| rowspan=2 | [4,3]<BR>[4,3]<sup>+</sup>
| rowspan=2 | *432<BR>432
| rowspan=2 | 48<BR>24
|- align=center dir=ltr
! [[هشت‌وجهی]]
| {3, 4} || 4 {{Pipe}} 2 3 || مکعب
|- align=center dir=ltr
! [[دوازده‌وجهی]]
| {5, 3} || 3 {{Pipe}} 2 5 || بیست‌وجهی
| rowspan=2 | تقارن بیست‌وجهی [[File:Icosahedral reflection domains.png|40px]]
| rowspan=2 | ''I''<sub>h</sub><BR>''I''
| rowspan=2 | [5,3]<BR>[5,3]<sup>+</sup>
| rowspan=2 | *532<BR>532
| rowspan=2 | 120<BR>60
|- align=center dir=ltr
! [[بیست‌وجهی]]
| {3, 5} || 5 {{Pipe}} 2 3 || دوازده‌وجهی
|}

== چندبرهای مرتبط ==
=== چندوجهی‌های نیمه‌منتظم ===
{{مرتبط|جسم ارشمیدسی}}
اجسام ارشمیدسی چندوجهی‌هایی هستند که از بیش از یک نوع چندضلعی همنهشت ساخته شده‌اند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود دارد{{یاد|بدون به حساب آوردن [[منشور]]ها و [[پادمنشور]]‌ها}} که از این تعداد هفت تای آن‌ها را می‌توان با [[بریدن گوشه‌ها]]ی اجسام افلاطونی ساخت. این هفت جسم ارشمیدسی عبارتند از:<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | pp=90}}</ref>
# [[مکعب‌هشت‌وجهی]]، که هشت وجهش [[مثلث متساوی‌الاضلاع]] و شش وجهش [[مربع]]ند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب یا هشت‌وجهی منتظم از وسط اضلاع آن‌ها ساخت؛
# [[بیست‌دوازده‌وجهی]]، که بیست وجهش [[مثلث متساوی‌الاضلاع]] و دوازده وجهش [[پنج‌ضلعی|پنج‌ضلعی منتظم]]ند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم یا بیست‌وجهی منتظم از وسط اضلاع ساخت.{{یاد|با بریدن گوشه‌های چهاروجهی منتظم از وسط اضلاعش یک چهاروجهی منتظم کوچکتر حاصل می‌شود.}}
# [[چهاروجهی بریده‌شده]]، که چهار وجهش [[شش‌ضلعی منتظم]] و چهار وجهش [[مثلث متساوی‌الاضلاع]]ند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های چهاروجهی منتظم تا {{ریاضی|۱۳}} درصد طول اضلاع ساخت.
# [[مکعب بریده‌شده]]، که شش وجهش [[هشت‌ضلعی منتظم]] و هشت وجهش [[مثلث متساوی‌الاضلاع]]ند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب تا {{ریاضی|۱۴}}  درصد طول اضلاع ساخت.
# [[هشت‌وجهی بریده‌شده]]، که هشت وجهش [[شش‌ضلعی منتظم]] و شش وجهش [[مربع]]ند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های هشت‌وجهی منتظم تا {{ریاضی|۱۳}} درصد طول اضلاع ساخت.
# [[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]، که ۱۲ وجهش [[ده‌ضلعی|ده‌ضلعی منتظم]] و ۲۰ وجهش [[مثلث متساوی‌الاضلاع]]ند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم تا {{ریاضی|۱۲+φ}} درصد طول اضلاع ساخت.
# [[بیست‌وجهی بریده‌شده]] یا «توپ فوتبال»، که ۱۲ وجهش [[پنج‌ضلعی|پنج‌ضلعی منتظم]] و ۲۰ وجهش [[شش‌ضلعی|شش‌ضلعی منتظم]]ند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های بیست‌وجهی منتظم تا {{ریاضی|۱۳}} درصد طول اضلاع ساخت.

{{وسط|<gallery mode=packed heights=90px>
پرونده:Polyhedron 6-8 max.png|بندانگشتی|[[مکعب‌هشت‌وجهی]]
پرونده:Polyhedron 12-20 max.png|بندانگشتی|[[بیست‌دوازده‌وجهی]]
پرونده:Polyhedron truncated 4a max.png|بندانگشتی|[[چهاروجهی بریده‌شده]]
پرونده:Polyhedron_truncated_6_max.png|بندانگشتی|[[مکعب بریده‌شده]]
پرونده:Polyhedron_12-20_max.png|بندانگشتی|[[هشت‌وجهی بریده‌شده]]
پرونده:Polyhedron truncated 12 max.png|بندانگشتی|[[دوازده‌وجهی بریده‌شده]]
پرونده:Polyhedron truncated 20 max.png|بندانگشتی|[[بیست‌وجهی بریده‌شده]]
</gallery>}}

[[اجسام کاتالان]] را هم، که مزدوج اجسام ارشمیدسی‌اند، می‌توان ازین روش ساخت، بااین‌حال وجه‌های اجسام کاتالان همنهشت <u>نیستند</u>.

=== موزائیک‌کاری منتظم ===
{{مرتبط|موزائیک‌کاری}}
<div class="quotebox" style="float: left; clear: right; margin: 0.5em 1.4em 0.8em 0;">
{| class=wikitable
|+ سه نوع موزائیک‌کاری منتظم صفحه
|[[File:Uniform tiling 44-t0.svg|100px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t2.png|100px]]
|[[File:Uniform tiling 63-t0.png|100px]]
|-
! {4,4}
! {3,6}
! {6,3}
|}</div>
[[موزائیک‌کاری]] [[صفحه]]‌ها با استفاده از [[چندضلعی منتظم|چندضلعی منتظم محدب]] به‌طوری که اضلاع واحدها روی هم بیفتند و درزی باقی نماند (اصطلاحاً «لانه‌زنبوری دوبعدی»{{یادچپ|two-dimensional honeycomb}}) به سه روش ممکن است که با سه گروه تقارن اجسام افلاطونی متناظرند؛ ازین رو می‌توان اجسام افلاطونی را موزائیک‌کاری منتظم سطح [[کره (هندسه)|کُره]]‌ای هم‌مرکز با آن دانست.
از سوی دیگر در [[مثلثات کروی]] می‌توان با تصویر اضلاع اجسام افلاطونی روی سطح کره واحدهای لازم برای پوشاندن سطح آن را بدست آورد.<ref dir=ltr>{{harvcolnb| Coxeter | 1973 | pp=58{{--}}59}}</ref>
روش [[ابوالوفا محمد بوزجانی]] برای پوشاندن سطح کره که برای پوشاندن گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی با اشکال سادهٔ هندسی به کار می‌رود<ref>{{پکه| هاشمی | ۱۳۹۱ | p=۲۶–۳۱}}</ref> مبتنی بر همین ویژگی اجسام افلاطونی است.
{| class=wikitable style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
|+ موزائیک‌کاری افلاطونی کره
|-
|[[File:Uniform tiling 332-t0-1-.png|60px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t0.png|60px]]
|[[File:Uniform tiling 432-t2.png|60px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t0.png|60px]]
|[[File:Uniform tiling 532-t2.png|60px]]
|-
!{3,3}
!{4,3}
!{3,4}
!{5,3}
!{3,5}
|}{{-}}

== در بعدهای بالاتر ==
[[پرونده:600cell-perspective-vertex-first-multilayer-01.png|بندانگشتی|یک تصویرسازی سه‌بعدی از [[۶۰۰-خانه]]، شیئی چهاربعدی که شرایط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. همانگونه که می‌توان از اشیاء سه‌بعدی عکس‌هایی دوبعدی تهیه کرد، از اشیاء چهاربعدی هم می‌توان تصاویری سه‌بعدی انداخت.]]
در سال ۱۸۵۲، [[لودویگ شلفلی]]ِ ریاضی‌دان ثابت کرد که در [[فضای چهاربعدی]] شش «چندوجهی» هست که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=83}}</ref>
در فضای پنج‌بعدی و فضاها در ابعاد بالاتر همیشه تنها سه «چندوجهی» وجود دارد که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=83}}</ref>
این [[چندبر]]ها، که تعمیمی از اجسام افلاطونی هستند، عبارتند از [[ابرمکعب]] (مکعب n-بعدی)، [[سیمپلکس]] (چهاروجهی n-بعدی)، و [[ارتوپلکس]] (هشت‌وجهی n-بعدی).<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=83}}</ref>
علاوه بر سه چندبر، در فضای سه‌بعدی دو چندوجهی (دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) و در فضای چهاربعدی سه چندبر (معروف به [[۲۴-خانه]]،
[[۱۲۰-خانه]]،
و [[۶۰۰-خانه]]) هست.<ref dir="ltr">{{harvcolnb|Pottmann | Asperl | Hofer | Kilian | 2007 | p=83}}</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[جسم ارشمیدسی]]
* [[جسم کاتالان]]

== یادداشت ==
{{کوچک}}
{{یادداشت|۲}}
{{پایان کوچک}}

== منابع ==
=== پانویس ===
{{پانویس|۲}}

=== فهرست منابع ===
{{چپ‌چین}}
<!-- انگلیسی -->
* {{cite book | last=Coxeter | first=H.S.M. | title=Regular Polytopes | publisher=Dover Publications | series=Dover books on advanced mathematics | year=1973 | isbn=978-0-486-61480-9 | url=https://books.google.com/books?id=iWvXsVInpgMC | ref=harv | access-date=2018-11-25| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD18fl4 | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Cromwell | first=P.R. | title=Polyhedra | publisher=Cambridge University Press | year=1999 | isbn=978-0-521-66405-9 | url=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC | ref=harv | access-date=2018-10-22| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCwK5i4 | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=French | first=K.L. | title=The Hidden Geometry of Life: The Science and Spirituality of Nature | publisher=Watkins Media Limited | series=Gateway series | year=2014 | isbn=978-1-78028-845-1 | url=https://books.google.com/books?id=ixPLCQAAQBAJ&pg=PA96 | ref=harv | access-date=2018-11-12| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD3hZUt | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Gardner | first=Martin | chapter=Chapter 1: The Five Platonic Solids| title=The 2nd Scientific American book of mathematical puzzles & diversions | publisher=University of Chicago Press | publication-place=Chicago | year=1987 | isbn=0-226-28253-8 | oclc=15550017 | ref=harv}}
* {{cite book | last=Haeckel | first=E. | title=Art Forms in Nature | publisher=Dover Publications | series=Dover Pictorial Archive | year=2012 | isbn=978-0-486-15532-6 | url=https://books.google.com/books?id=E1nCAgAAQBAJ | ref=harv | access-date=2018-11-12| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD9CaTh | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Henle | first=M. | title=A Combinatorial Introduction to Topology | publisher=Dover | series=Dover Books on Mathematics Series | year=1994 | isbn=978-0-486-67966-2 | url=https://books.google.com/books?id=S0RJYkBxowEC&pg=PA9 | ref=harv | access-date=2018-10-22| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD9tMla | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Kotrč| first=Ronald F. | title=THE DODECAHEDRON IN PLATO'S "TIMAEUS" | publisher=J.D. Sauerländers Verlag |journal=Rheinisches Museum für Philologie | year=1981 | | url=https://www.jstor.org/stable/41245051?seq=1#page_scan_tab_contents | ref=harv | access-date=2018-10-22| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD9cVWk | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Lewars | first=Errol G. | title=Modeling Marvels | publisher=Springer Netherlands | publication-place=Dordrecht | year=2008 | isbn=978-1-4020-6972-7 | doi=10.1007/978-1-4020-6973-4 | ref=harv}}
* {{cite book | last=MacLean | first=K.J.M. | title=A Geometric Analysis of the Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra | publisher=Loving Healing Press | series=Geometric explorations series | year=2007 | isbn=978-1-932690-99-6 | url=https://books.google.com/books?id=vINuAwAAQBAJ | ref=harv | access-date=2018-11-10| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCuWAgX | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Nayudu | first=M.V. | title=Plant Viruses | publisher=Tata McGraw-Hill | year=2008 | isbn=978-0-07-065660-4 | url=https://books.google.com/books?id=w11opH8eqY8C&pg=PA50 | ref=harv | access-date=2018-11-12| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCpOLjD | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Pottmann | first=Helmut | last2=Asperl | first2=Andreas | last3=Hofer | first3=Michael | last4=Kilian | first4=Axel | last5=Bentley | first5=Daril | title=Architectural geometry | publisher=Bentley Institute Press | year=2007 | isbn=1-934493-04-X | oclc=180177477 | ref=harv}}
* {{Cite book |title=Art, Mathematics and Architecture for Humanistic Renaissance: the Platonic Solids|last=Sala|first=Nicoletta |year=2004|publisher=University of Italian Switzerland, Academy of Architecture, Switzerland | ref=harv | url = http://math.unipa.it/~grim/SiSala2.PDF}}
* {{cite journal | last=Sarhangi | first=Reza | title=Illustrating Abu al-Wafā' Būzjānī: Flat Images, Spherical Constructions | journal=Iranian Studies | publisher=Informa UK Limited | volume=41 | issue=4 | year=2008 | issn=0021-0862 | doi=10.1080/00210860802246184 | pages=511–523 | ref=harv}}
* {{cite book | last=Senechal | first=M. | title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination | publisher=Springer New York | series=EBSCOhost ebooks online | year=2013 | isbn=978-0-387-92714-5 | url=https://books.google.com/books?id=kZtCAAAAQBAJ | ref=harv | access-date=2018-11-10| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCm8uGF | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite book | last=Tanna | first=S. | title=Amazing Math: Introduction to Platonic Solids | publisher=CreateSpace Independent Publishing Platform | year=2014 | isbn=978-1-5030-8485-8 | url=https://books.google.com/books?id=8-nVrQEACAAJ | ref=harv | access-date=2018-09-15| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCq0awA | archive-date = 16 December 2018 }}
<!-- بدون نام -->
* {{cite web | title=Form, Shape, and Space: Teachers' Booklet | date=2008 | url=https://www.ncetm.org.uk/public/files/271019/ULITA+Teachers+booklet.pdf | ref={{sfnref | Form, Shape, and Space: Teachers' Booklet | 2008}} | access-date=2018-10-22| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD6hYpU | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite web | title=Geometry - mathematics | website=Encyclopedia Britannica | url=https://www.britannica.com/science/geometry | ref={{sfnref | Encyclopedia Britannica - Geometry}} | access-date=2018-09-16| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCmZWN4 | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite web | title=Phi in Sacred Solids | website=Sacred Geometry | date=2012-11-28 | url=http://www.sacred-geometry.es/?q=en/content/phi-sacred-solids | ref={{sfnref | Sacred Geometry | 2012}} | access-date=2018-11-10| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCqWJtY | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite web | title="Platonic solid - MATHEMATICS"| website=Encyclopedia Britannica | url=https://www.britannica.com/science/Platonic-solid | ref={{sfnref | Encyclopedia Britannica}} | access-date=2018-09-06| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCuu3ar | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite web | title=Formula Derivations for Polyhedra | website=Whistler Alley Mathematics | date=2016-01-21 | url=http://whistleralley.com/polyhedra/derivations.htm | ref={{sfnref | Whistler Alley Mathematics - Formula Derivations for Polyhedra | 2016}}| access-date=2018-11-24| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD1cJGx | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite web | title=Platonic Solids | website=Whistler Alley Mathematics | date=2011-12-29 | url=http://whistleralley.com/polyhedra/platonic.htm | ref={{sfnref | Whistler Alley Mathematics | 2011}} | access-date=2018-10-22| archive-url = http://www.webcitation.org/74iD4BC54 | archive-date = 16 December 2018 }}
* {{cite web | title=The Nobel Moment: Dan Shechtman | website=NIST | date=2017-05-02 | url=https://www.nist.gov/content/nist-and-nobel/nobel-moment-dan-shechtman | ref={{sfnref | NIST | 2017}} | access-date=2018-11-12| archive-url = http://www.webcitation.org/74iCwl4sr | archive-date = 16 December 2018 }}

{{پایان چپ‌چین}}
<!-- فارسی -->
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=افراسیابی | نام=مرضیه | عنوان=نقد و بررسی افلاطون: رساله تیمائوس: تبیین ریاضیاتی افلاطون از عالم طبیعت | ژورنال=کتاب ماه فلسفه | شماره=۳۸ | سال=۱۳۸۹ | صفحه=۳–۱۰ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/822283 | زبان=fa | تاریخ بازبینی=2018-09-16|ref=harv| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/74iClV5bx | تاریخ بایگانی = ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸ }}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=مازوچی | نام=‌هادی | عنوان=این هم مجموعه ای است . . . | ژورنال=کتاب ماه علوم و فنون | شماره=۱۲۰ | سال=۱۳۸۸ | صفحه=۱۲–۲۹ |ref=harv| پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/781157 | زبان=fa | تاریخ بازبینی=۲۰۱۸-۰۹-۱۶| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/74iCkE7NR | تاریخ بایگانی = ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸ }}
* {{یادکرد ژورنال | نام خانوادگی=هاشمی | نام=‌غلامرضا | عنوان=نظری به جایگه هندسه و نقوش هندسی در آرا متفکران یونانی و مسلمان | ژورنال=کتاب ماه هنر | شماره=۱۶۵ | سال=۱۳۹۱ | صفحه=۲۶–۳۱ | پیوند=https://www.noormags.ir/view/fa/articlepage/997279 | زبان=fa | تاریخ بازبینی=2018-09-16|ref=harv| پیوند بایگانی = http://www.webcitation.org/74iCkonGx | تاریخ بایگانی = ۱۶ دسامبر ۲۰۱۸ }}

{{چندضلعی محدب |state=collapsed}}

[[رده:اجسام افلاطونی]]
[[رده:چندوجهی‌ها]]