نمایش مبدأ برای تبدیل لاپلاس

'''ترادیس لاپلاس''' (یا تبدیل لاپلاس) {{به انگلیسی|Laplace transform}} در [[ریاضیات]] یک [[تبدیل انتگرالی]] است که بسیار پرکاربرد است. ترادیس لاپلاس با نماد <math> \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}</math> در واقع [[عملگر خطی|عملگری خطی]] از تابع (''f'' (''t'' با آرگومان حقیقی (''t'' (''t'' ≥ ۰ به تابع (''F'' (''s'' با آرگومان مختلط ''s'' است. در بسیاری از کاربردهای عملی، این ترادیس به صورت [[تابع دوسویی|دوسویه]] عمل می‌کند. ویژگی مهم این ترادیس آن است که بسیاری از رابطه‌ها و تغییراتی که بر روی تابع اصلی (''f'' (''t'' برقرار هستند، در ترادیس یافتهٔ آن (''F'' (''s'' نیز با رابطه‌ای ساده و منطقی برقرار‌اند. <ref>{{harvnb|Korn|Korn|۱۹۶۷|loc=§۸٫۱}}</ref> 

این ترادیس به افتخار [[پیر لاپلاس]] یعنی کسی که آن را در یکی از کارهایش بر روی [[نظریه احتمالات|نظریهٔ احتمالات]] معرفی کرده بود، ترادیس لاپلاس گذاشته شده‌است.

ترادیس لاپلاس شبیه به ترادیس یا [[تبدیل فوریه]] است با این تفاوت که ترادیس فوریه یک تابع را به حالت‌های [[ارتعاش|ارتعاشی‌اش]] تجزیه می‌کند ولی ترادیس لاپلاس آن را به momentهایش تجزیه می‌کند. ترادیس‌های لاپلاس و فوریه هر دو برای حل معادله‌های دیفرانسیلی و انتگرالی کاربرد دارند. در فیزیک و مهندسی از این ترادیس برای تحلیل [[سیستم دینامیکی|سامانهٔ]] [[نظریه سامانه خطی تغییرناپذیر با زمان|نامتغیرهای خطی زمان]] مانند [[مدارهای الکتریکی]]، ابزارهای نوری، و سامانه‌های مکانیکی استفاده می‌شود. در بیشتر موارد، ترادیس لاپلاس برای تبدیل سامانه‌هایی با ورودی و خروجی وابسته به زمان به سامانه‌ای وابسته به [[بسامد زاویه‌ای]] [[عدد مختلط|مختلط]] با یکای [[رادیان]] بر واحد زمان است. به عبارت دیگر، اگر سامانه‌ای را در نظر بگیریم که توصیف ریاضی یا تابع ورودی و خروجی آن را داشته باشیم، ترادیس لاپلاس آن به ما کمک می‌کند تا تابع جایگزینی را پیدا کنیم که تحلیل رفتار این تابع را آسان‌تر می‌کند.

روش تبدیل لاپلاس، روش عملیاتی است که می‌تواند در حل [[معادلات دیفرانسیل]] خطی سودمند باشد . به کمک تبدیل‌های لاپلاس می‌توان بسیاری از توابع متداول نظیر توابع سینوسی، توابع سینوسی میرا، و توابع نمایی را به توابع جبری با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . عملیات جبری در صفحات مختلط می‌توانند جای عملیاتی مانند مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری را بگیرند . از این رو یک [[معادله دیفرانسیل]] خطی را می‌توان به یک [[معادله جبری]] با یک متغیر مختلط تبدیل کرد . آنگاه جواب معادله دیفرانسیل را می‌توان به کمک جدول تبدیل لاپلاس یا [[روش تجزیه]] به کسرهای ساده بدست آورد .

یکی از مزایای روش تبدیل لاپلاس در این است که استفاده از روش‌های ترسیمی برای پیش‌بینی عملکرد سیستم را بدون حل واقعی معادلات دیفرانسیل سیستم میسر می‌سازد . مزیت دیگر آن در این است که با حل معادله دیفرانسیل، می‌توان هر دو مؤلفه گذرا و حالت ماندگار جواب را یکجا بدست آورد .

== پیشینه ==
ترادیس لاپلاس به بزرگداشت [[ریاضی‌دان]] و [[ستاره‌شناس]] فرانسوی [[پیر لاپلاس]] نامگذاری شده‌است. او اولین بار از این ترادیس در یکی از کارهایش بر روی [[نظریه احتمالات|نظریهٔ احتمالات]] استفاده کرد. از سال ۱۷۴۴ [[لئونارد اویلر]] شروع به تحقیق دربارهٔ انتگرال‌هایی با فرم زیر کرد:
{{چپ‌چین}}
: <math> z = \int X(x) e^{ax}\, dx \quad\text{ and}\quad z = \int X(x) x^A \, dx</math>
{{پایان چپ‌چین}}
او از این ترادیس برای حل معادله‌های دیفرانسیل استفاده کرد ولی بیش از آن در این زمینه پیگیری نکرد.<ref>{{harvnb|Euler|۱۷۴۴}}, ([[#CITEREFEuler۱۷۵۳|۱۷۵۳]]) and ([[#CITEREFEuler۱۷۶۹|۱۷۶۹]])</ref> [[ژوزف لویی لاگرانژ]] از کسانی بود که از اویلر تأثیر گرفته‌اند، او در مطالعاتش بر روی انتگرال‌گیری از [[تابع چگالی احتمال]] رابطه‌هایی با شکل زیر را به دست آورد:
{{چپ‌چین}}
: <math> \int X(x) e^{- a x} a^x\, dx,</math>
{{پایان چپ‌چین}}
برخی تاریخ نگاران امروزی از آن با نام نظریهٔ ''ترادیس نوین لاپلاس'' {{به انگلیسی|modern Laplace transform theory}} یاد کرده‌اند.<ref>{{harvnb|Lagrange|۱۷۷۳}}</ref><ref>{{harvnb|Grattan-Guinness| ۱۹۹۷|p=260}}</ref>{{Clarify|date=May ۲۰۱۰}}

به نظر می‌رسد این گونه انتگرال‌ها اولین بار در سال ۱۷۸۲ مورد توجه لاپلاس قرار گرفته‌اند. در آن دوران، او تلاش می‌کرد تا مانند اویلر از خود انتگرال‌ها به عنوان راه حل معادله‌ها استفاده کند.<ref>{{harvnb|Grattan-Guinness|۱۹۹۷|p=261}}</ref>. وی در سال ۱۷۸۵ گام اصلی را به جلو برداشت و به جای این که تنها به دنبال به دست آوردن یک جواب انتگرالی باشد سعی کرد بر روی خود ترادیس، تغییرهای لازم را بدهد. او ابتدا از انتگرالی با شکل زیر استفاده کرد:
{{چپ‌چین}}
: <math> \int x^s \phi (x)\, dx,</math>
{{پایان چپ‌چین}}

== تعریف ==
ترادیس لاپلاس تابع (''f'' (''t'' در مجموعهٔ [[اعداد حقیقی]] برای ''t'' ≥ ۰ تابع (''F'' (''s'' است که به صورت زیر تعریف می‌شود:
{{چپ‌چین}}
: <math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt. </math>
{{پایان چپ‌چین}}
پارامتر ''s'' [[عدد مختلط|عددی مختلط]] است که:
: <math>s = \sigma + i \omega, \, </math> با σ و ω حقیقی.

== ترادیس لاپلاس دو طرفه ==
این ترادیس روی تابع‌هایی که روی کل <math> R </math> تعریف شده‌اند اعمال می‌شود و به صورت زیر است:
:<math>F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t) \,dt </math>

== ویژگی‌های تبدیل لاپلاس ==
{| class="wikitable" id="291017_tableid"
|+ ویژگی‌های تبدیل لاپلاس یک طرفه
|-
 !
! حوزه زمان
! حوزه {{math|''s''}}
! توضیح
|-
! [[رابطه خطی]]
 | <math> a f(t) + b g(t) \ </math>
 | <math> a F(s) + b G(s) \ </math>
 | Can be proved using basic rules of integration.
|-
! Frequency-domain derivative
 | <math> t f(t) \ </math>
 | <math> -F'(s) \ </math>
 | {{math|''F''′}} is the first [[derivative]] of {{math|''F''}} with respect to {{math|''s''}}.
|-
! Frequency-domain general derivative
 | <math> t^{n} f(t) \ </math>
 | <math> (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ </math>
 | More general form, {{math|''n''}}th derivative of {{math|''F''(''s'')}}.
|-
! [[Derivative]]
 | <math> f'(t) \ </math>
 | <math> s F(s) - f(0^{+}) \ </math>
 | {{math|''f''}} is assumed to be a [[differentiable function]], and its derivative is assumed to be of [[exponential type]]. This can then be obtained by [[integration by parts]]
|-
! Second derivative
 | <math> f''(t) \ </math>
 | <math> s^2 F(s) - s f(0^{+}) - f'(0^{+}) \ </math>
 | {{math|''f''}} is assumed twice differentiable and the second derivative to be of exponential type. Follows by applying the Differentiation property to {{math|''f''′(''t'')}}.
|-
! General derivative
 | <math> f^{(n)}(t)  \ </math>
 | <math> s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{n-k} f^{(k-1)}(0^{+}) \ </math>
 | {{math|''f''}} is assumed to be {{math|''n''}}-times differentiable, with {{math|''n''}}th derivative of exponential type. Follows by [[mathematical induction]].
|-
! [[Frequency|Frequency-domain integration]]
 | <math> \frac{1}{t}f(t)  \ </math>
 | <math> \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ </math>
 | This is deduced using the nature of frequency differentiation and conditional convergence.
|-
! Time-domain [[integral|integration]]
 | <math> \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t)</math>
 | <math> {1 \over s} F(s) </math>
 | {{math|''u''(''t'')}} is the [[Heaviside step function]] and {{math|(''u'' ∗ ''f'')(''t'')}} is the [[convolution]] of {{math|''u''(''t'')}} and {{math|''f''(''t'')}}.
|-
! Frequency shifting
 | <math> e^{at} f(t)  \ </math>
 | <math> F(s - a) \ </math>
 |
|-
! Time shifting
 | <math> f(t - a) u(t - a) \ </math>
 | <math> e^{-as} F(s) \ </math>
 | {{math|''u''(''t'')}} is the [[Heaviside step function]]
|-
! Time scaling
 | <math>f(at)</math>
 | <math> \frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )</math>
 | <math> a > 0 \ </math>
|-
! [[Multiplication]]
 | <math>f(t)g(t)</math>
 | <math> \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,d\sigma \ </math>
 | The integration is done along the vertical line {{nowrap|1=Re(''σ'') = ''c''}} that lies entirely within the region of convergence of {{math|''F''}}.<ref>{{harvnb|Bracewell|2000|loc=Table 14.1, p. 385}}</ref>
|-
! [[Convolution]]
 | <math> (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau</math>
 | <math> F(s) \cdot G(s) \ </math>
 |
|-
! [[Complex conjugation]]
 | <math> f^*(t) </math>
 | <math> F^*(s^*) </math>
 |
|-
! [[Cross-correlation]]
 | <math> f(t)\star g(t) </math>
 | <math> F^*(-s^*)\cdot G(s) </math>
 |
|-
! [[Periodic function]]
 | <math>f(t)</math>
 | <math>{1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt </math>
 | {{math|''f''(''t'')}} is a periodic function of [[periodic function|period]] {{math|''T''}} so that {{math|1=''f''(''t'') = ''f''(''t'' + ''T'')}}, for all {{math|''t'' ≥ 0}}. This is the result of the time shifting property and the [[geometric series]].
|}

== تبدیل لاپلاس‌های پرکاربرد ==
{| class="wikitable"
|-
! تابع
! حوزه زمان{{سخ}}<math>f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}</math>
! Laplace {{math|s}}-حوزه{{سخ}}<math>F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}</math>
! ناحیه تبدیل
! منبع

|- style="text-align:center;"
| [[Dirac delta function|unit impulse]]
|| <math> \delta(t) \ </math>
|| <math> 1  </math>
|| all {{math|''s''}}
|| inspection

|- style="text-align:center;"
| delayed impulse
|| <math> \delta(t - \tau) \ </math>
|| <math> e^{-\tau s} \ </math>
||
|| time shift of{{سخ}}unit impulse

|- style="text-align:center;"
| [[Heaviside step function|unit step]]
|| <math> u(t) \ </math>
|| <math> { 1 \over s } </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| integrate unit impulse

|- style="text-align:center;"
| delayed unit step
|| <math> u(t - \tau) \ </math>
|| <math> \frac 1 s e^{-\tau s} </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| time shift of{{سخ}}unit step

|- style="text-align:center;"
| [[ramp function|ramp]]
|| <math> t \cdot u(t)\ </math>
|| <math>\frac 1 {s^2}</math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| integrate unit{{سخ}}impulse twice

|- style="text-align:center;"
| {{math|''n''}}th power{{سخ}}(for integer {{math|''n''}})
|| <math> t^n \cdot u(t) </math>
|| <math> { n! \over s^{n + 1} } </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}{{سخ}}({{math|''n'' > −۱}})
|| Integrate unit{{سخ}}step {{math|''n''}} times

|- style="text-align:center;"
| {{math|''q''}}th power{{سخ}}(for complex {{math|''q''}})
|| <math> t^q \cdot u(t) </math>
|| <math> { \Gamma(q + 1) \over s^{q + 1} } </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}{{سخ}}{{math|Re(''q'') > −۱}}
||<ref>{{citation |title=Mathematical Handbook of Formulas and Tables |edition=3rd |first1=S. |last1=Lipschutz |first2=M. R. |last2=Spiegel |first3=J. |last3=Liu |series=Schaum's Outline Series |publisher=McGraw-Hill |page=183 |year=2009 |isbn=978-0-07-154855-7}} – provides the case for real {{math|''q''}}.</ref><ref>http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html – Wolfram Mathword provides case for complex {{math|''q''}}</ref>

|- style="text-align:center;"
| {{math|''n''}}th root
|| <math> \sqrt[n]{t} \cdot u(t) </math>
|| <math> { 1 \over s^{\frac 1 n + 1} } \Gamma\left(\frac 1 n + 1\right) </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| Set {{math|1=''q'' = 1/''n''}} above.

|- style="text-align:center;"
| {{math|''n''}}th power with frequency shift
|| <math>t^{n} e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math>
|| <math>\frac{n!}{(s+\alpha)^{n+1}}</math>
|| {{math|Re(''s'') > −''α''}}
|| Integrate unit step,{{سخ}}apply frequency shift

|- style="text-align:center;"
| delayed {{math|''n''}}th power{{سخ}}with frequency shift
|| <math>(t-\tau)^n e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau) </math>
|| <math> \frac{n! \cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}} </math>
|| {{math|Re(''s'') > −''α''}}
|| Integrate unit step,{{سخ}}apply frequency shift,{{سخ}}apply time shift

|- style="text-align:center;"
| [[exponential decay]]
|| <math> e^{-\alpha t} \cdot u(t)   </math>
|| <math> { 1 \over s+\alpha } </math>
|| {{math|Re(''s'') > −''α''}}
|| Frequency shift of{{سخ}}unit step

|- style="text-align:center;"
| [[Two-sided Laplace transform|two-sided]] exponential decay{{سخ}}(only for bilateral transform)
|| <math> e^{-\alpha|t|}  \ </math>
|| <math> { 2\alpha \over \alpha^2 - s^2 } </math>
|| {{math|−''α'' < Re(''s'') < ''α''}}
|| Frequency shift of{{سخ}}unit step

|- style="text-align:center;"
| exponential approach
|| <math>( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ </math>
|| <math>\frac{\alpha}{s(s+\alpha)} </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| Unit step minus{{سخ}}exponential decay

|- style="text-align:center;"
| [[sine]]
|| <math> \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>
|| <math> { \omega \over s^2 + \omega^2  } </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| {{Harvnb|Bracewell|1978|p=۲۲۷}}

|- style="text-align:center;"
| [[cosine]]
|| <math> \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>
|| <math> { s \over s^2 + \omega^2  } </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| {{Harvnb|Bracewell|1978|p=۲۲۷}}

|- style="text-align:center;"
| [[hyperbolic sine]]
|| <math> \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>
|| <math> { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } </math>
|| {{math|Re(''s'') > {{abs|''α''}}}}
|| {{Harvnb|Williams|1973|p=۸۸}}

|- style="text-align:center;"
| [[hyperbolic cosine]]
|| <math> \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ </math>
|| <math> { s \over s^2 - \alpha^2  } </math>
|| {{math|Re(''s'') > {{abs|''α''}}}}
|| {{Harvnb|Williams|1973|p=۸۸}}

|- style="text-align:center;"
| exponentially decaying{{سخ}}sine wave
|| <math>e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>
|| <math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>
|| {{math|Re(''s'') > −''α''}}
|| {{Harvnb|Bracewell|1978|p=۲۲۷}}

|- style="text-align:center;"
| exponentially decaying{{سخ}}cosine wave
|| <math>e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>
|| <math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>
|| {{math|Re(''s'') > −''α''}}
|| {{Harvnb|Bracewell|1978|p=۲۲۷}}

|- style="text-align:center;"
| [[natural logarithm]]
|| <math> \ln (t) \cdot u(t) </math>
|| <math> - { 1 \over s}\, \left[\ln(s)+\gamma \right] </math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| {{Harvnb|Williams|1973|p=۸۸}}

|- style="text-align:center;"
| [[Bessel function]]{{سخ}}of the first kind,{{سخ}}of order ''n''
|| <math> J_n( \omega t) \cdot u(t)</math>
|| <math>\frac{ \left(\sqrt{s^2+ \omega^2}-s\right)^n}{\omega^n \sqrt{s^2 + \omega^2}}</math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}{{سخ}}({{math|''n'' > −۱}})
|| {{Harvnb|Williams|1973|p=۸۹}}

|- style="text-align:center;"
| [[Error function]]
|| <math> \operatorname{erf}(t) \cdot u(t) </math>
|| <math> \frac 1 s e^{(1/4)s^2} \left(1 - \operatorname{erf} \frac s 2 \right)</math>
|| {{math|Re(''s'') > 0}}
|| {{Harvnb|Williams|1973|p=۸۹}}

|-
| colspan=5|'''Explanatory notes:'''
{{col-begin}}
{{col-break}}
* {{math|''u''(''t'')}} represents the [[Heaviside step function]].
* {{math|''δ''}} represents the [[Dirac delta function]].
* {{math|Γ(''z'')}} represents the [[Gamma function]].
* {{math|''γ''}} is the [[Euler–Mascheroni constant]].

{{col-break}}
* {{math|''t''}}, a real number, typically represents ''time'',{{سخ}}although it can represent ''any'' independent dimension.
* {{math|''s''}} is the [[complex number|complex]] frequency domain parameter, and {{math|Re(''s'')}} is its [[real part]].
* {{math|''α'', ''β'', ''τ,'' and ''ω''}} are [[real numbers]].
* {{math|''n''}} is an [[integer]].

{{col-end}}
|}

== پانویس ==
{{پانویس|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
* {{یادکرد-ویکی
|پیوند= http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Laplace_transform&oldid=228754979
|عنوان= Laplace transform
|زبان=انگلیسی
|بازیابی=۲۹ سپتامبر ۲۰۱۱
}}

=== نوین ===
{{چپ‌چین}}
* {{citation|first1=G.A.|last1=Korn|first2=T.M.|last2=Korn|title=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers|publisher=McGraw-Hill Companies|edition=2nd|year=1967|isbn= 0-0703-5370-0}}.
{{پایان چپ‌چین}}

=== تاریخی ===
{{چپ‌چین}}
* {{citation|last=Euler|first=L.|authorlink=Leonhard Euler|year=1744|title=De constructione aequationum|journal=Opera omnia|series=1st series|volume=22|pages=150–161}}.
* {{citation|last=Euler|first=L.|authorlink=Leonhard Euler|year=1753|title=Methodus aequationes differentiales|journal=Opera omnia|series=1st series|volume=22|pages=181–213}}.
* {{citation|last=Euler|first=L.|authorlink=Leonhard Euler|year= 1769|title=Institutiones calculi integralis, Volume 2|journal=Opera omnia|series=1st series|volume=12}}، Chapters 3–5.
* {{citation|last=Grattan-Guinness|first=I|authorlink=Ivor Grattan-Guinness|year=1997|contribution=Laplace's integral solutions to partial differential equations|editor=Gillispie, C. C.|title=Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science|publication-place=Princeton|publisher=Princeton University Press|isbn=0-691-01185-0}}.
* {{citation|last=Lagrange|first=J. L.|authorlink=Joseph Louis Lagrange|year=1773|title=Mémoire sur l'utilité de la méthode|series=Œuvres de Lagrange|volume=2|pages=171–234}}.
{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
* [https://web.archive.org/web/20131004224644/http://mathworks.ir/matlab-learning/31-general/263-laplace تبدیل لاپلاس در متلب]
{{داده‌های کتابخانه‌ای}}
{{نظریه کنترل}}

{{ریاضی-خرد}}

[[رده:تبدیل‌های انتگرالی]]
[[رده:تبدیل‌های لاپلاس]]
[[رده:تحلیل فوریه]]
[[رده:معادلات دیفرانسیل]]